İlişkisel Cebir (Relational Algebra)

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi Al-jabr kitabının yazarıdır. Kitabın başlığı Al-jabr (Cebir) Algebra’ya ismini vermiştir. İlişkisel Cebir genel anlamıyla ilişkisel veritabanının nasıl çalışacağına dair kurallara uygun tanımdır. Veritabanında verinin nasıl saklandığına dair bir arayüzdür. SQL işlemlerini destekleyen matematiktir.

İlişkisel cebirdeki operatörler SQL operatörleri ile aynı isimlere sahip olmak zorunda değildirler. Mesela SELECT ifadesi SQL’de de ilişkisel cebirde de vardır. Fakat kullanımları aynı değildir. Veri tabanı yönetim sistemi kullanıcı her ne yazarsa, yazılanı veritabanına uygulamadan önce alıp, ilişkisel cebir işlemlerine çevirmelidir.

İşlemler (Operations)

Bir İlişkili İşlemler (unary operations)

Seçim (Selection)(σ): İlişkinin satırlarının bir alt kümesini seçer.

Yansıtma (Projection)(π): İlişkinin istenmeyen sütunlarını siler.

Yeniden Adlandırma (Rename)(ρ): İlişkinin istenilen sütunlarının adını değiştirir.

Küme Teorisi İşlemleri

Küme farkı (Set-difference)(-): Birinci ilişkide bulunup ikinci ilişkide bulunmayan çoklular.

Birleşim (Union)(∪): Birinci ve ikinci ilişkide bulunan çoklular.

Kesişim (intersection)(∩): Birinci ve ikinci ilişkide ortak bulunan çoklular.

Kartezyen çarpım (Cross-product)(x): İki ilişkiyi birleştirmeye yarar.

İkili İşlemler (binary operations)

Bitişme (join)

Bölme(division)

Diğer İşlemler

Aggregate Functions (Sum, Count, Avg, Min, Max)

Aşağıdaki ilişkiler üzerinden örneklerimizi verelim:

Örnek Veritabanı İçerisindeki Kayıtlar

Örnek Veritabanı İlişkileri

Seçim (Selection) (σ)

Seçim şartını gerçekleyen satırları seçer.

Sonuçta tekrarlar yoktur.

Sonucun şeması girdi ilişkisinin şeması ile aynıdır.

Sonuç başka bir ilişkisel cebir işlemi için girdi olarak kullanılabilir.

Selection İşlemi

Yansıtma (Projection) (π)

Yansıtma listesinde olmayan özellikleri siler.

Sonuç şeması tam olarak yansıtma listesinde olan özellikleri, girdi olan ilişkideki isimlerle, içerir.

Yansıtma işlemi tekrarları elemelidir.

Not: Gerçek hayatta tekrarlar kullanıcı açıkça istemedikten sonra elenmez.

Projection İşlemi

Yeniden Adlandırma (Rename)(ρ)

İlişki veya ilişki özniteliklerinin adlarını değiştirmekte kullanılır.

Rename İşlemi

Rename İşlemi Uygulanmadığında

Birleşim (Union), Kesişim (Intersection), Küme Farkı (Set-Difference)

Bütün bu işlemler girdi olarak iki ilişki alır, ki bu iki ilişki birleşime uyumlu olmalıdır.
1. Aynı sayıda alana sahip olmalıdır.
2. Karşılıklı alanlar aynı tipte olmalıdır.

Örnek Veritabanı İçerisindeki Kayıtlar

Birleşim (Union)(U)

Union İşlemi

Kesişim (Intersection)(∩)

Intersection İşlemi

Küme Farkı (Set-Difference)(-)

Set-Difference İşlemi

Union ve intersection yer değiştirme özelliği vardır.

R ∪ S = S ∪ R

R ∩ S = S ∩ R

Union ve intersection birleşme özelliği vardır.

R ∪ (S ∪ T) = (R ∪ S) ∪ T

(R ∩ S) ∩ T = R ∩ (S ∩ T)

Set difference işleminin yer değiştirme özelliği yoktur.

R – S ≠ S – R

Kartezyen Çarpım (Cross-product) (x)

S1 x R1 : S1 in her satırı R1 in herbir satırıyla eşleşir.

Sonucun şeması S1 ve R1 deki herbir alana karşılık bir alan içerir.

Cross-Product İşlemi

Bitiştirme (Join) (⋈)

Kartezyen çarpım ve seçim işlemi birlikte kullanılırsa bitiştirme işlemi yapılmış olur.

Yani Join belirtilen iki işlemi birleştiren özel bir işlemdir.

Şartlı Bitiştirme (Conditional Join) (⋈_c)

R ⋈_cS = σ_c(R x S)

Sonuç şeması kartezyen çarpımdaki gibidir.

Kartezyen çarpımdan daha az çoklu içermesi daha verimli bir biçimde hesaplamayı sağlar.

Teta bitiştirmesi diye de adlandırılır.

Eşit Bitiştirme (Equijoin) (⋈_e)

e’nin herhangi bir eşitliğe karşılık geldiği özel bir şartlı bitiştirmedir.

Sonucun şeması kartezyen çarpımdakine benzerdir, sadece eşitliğin belirlendiği alanın tek kopyası vardır.

Doğal Bitiştirme (Natural join) (*)

Equijoin’deki aynı isimli öznitelik karşılaştırmalarını tekrar tekrar yazmamak için kullanılan işlemdir.

İki ilişkideki aynı isimli özniteliklerin eşitliğini karşılaştırır.

Bölme (Division)(÷)

R’nin 2 A ve B isimli alanı, S’nin yalnız A isimli bir alanı olsun.

Eğer S' deki A kümesi R’deki bir A ile ilişkilendirilmişse ve R A ile ilişkili bir şekilde S deki tüm A’ları kapsıyorsa, bu A R/S kümesi içerisindedir.